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數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)
總結(jié)是對(duì)過去一定時(shí)期的工作、學(xué)習(xí)或思想情況進(jìn)行回顧、分析，并做出客觀評(píng)價(jià)的書面材料，它能夠給人努力工作的動(dòng)力，讓我們好好寫一份總結(jié)吧。那么總結(jié)有什么格式呢？下面是小編精心整理的數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)，僅供參考，歡迎大家閱讀。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)1
數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個(gè)重要的標(biāo)志。人類從識(shí)別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過程。
第一次擴(kuò)充：分?jǐn)?shù)的引進(jìn)；第二次擴(kuò)充：0的引進(jìn)；第三次擴(kuò)充：負(fù)數(shù)的引進(jìn)；第四次擴(kuò)充：無理數(shù)的引進(jìn)；第五次擴(kuò)充：復(fù)數(shù)的引進(jìn)。
從原有數(shù)集擴(kuò)充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴(kuò)充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運(yùn)算結(jié)果與在原數(shù)集中的運(yùn)算結(jié)果一致，且基本運(yùn)算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運(yùn)算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴(kuò)充方法：一種是把新引進(jìn)的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴(kuò)充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個(gè)集合，即通過定義等價(jià)類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個(gè)部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的一次擴(kuò)張。引入了負(fù)數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的自封閉。
有理數(shù)有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長(zhǎng)度，把它的左、右端點(diǎn)分別標(biāo)設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。對(duì)于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。
無理數(shù)的引入正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線不可公度。實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴(kuò)張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運(yùn)算的需要，實(shí)現(xiàn)了實(shí)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個(gè)數(shù)都小于第二類中的任一個(gè)數(shù)，這個(gè)分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個(gè)分割法可以得到無理數(shù)的定義。
所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。
自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論
基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號(hào)放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號(hào)個(gè)數(shù)，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數(shù)”。19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價(jià)集合的共同特征稱為基數(shù)。對(duì)于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個(gè)數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)�？占幕鶖�(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。
序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進(jìn)而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。
定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后繼元素；
�。�3）對(duì)N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
�。�4）對(duì)N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；
（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。
自然數(shù)0是作為空集的標(biāo)記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。
自然數(shù)系所蘊(yùn)含的思想
對(duì)應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對(duì)應(yīng)概念之上，而且對(duì)應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國(guó)策梅羅提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國(guó)弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想
位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個(gè)記號(hào)來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的。
負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對(duì)相反意義的量。引入負(fù)
數(shù)學(xué)符號(hào)有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號(hào)的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號(hào)，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運(yùn)算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡(jiǎn)約的形式表現(xiàn)出來。
字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號(hào)x可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算。文字代表數(shù)的真正價(jià)值在于：字母能夠和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等運(yùn)算，乃至對(duì)字母進(jìn)行微分、積分運(yùn)算等等。
解析式數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號(hào)組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運(yùn)算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運(yùn)算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運(yùn)算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運(yùn)算的整式稱為單項(xiàng)式，否則稱為多項(xiàng)式。另一類是包含初等超越運(yùn)算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡(jiǎn)稱超越式。它包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。
解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對(duì)的。式的恒等變形也是可以連寫的，因?yàn)樗鼈儗?duì)一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號(hào)語言
代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運(yùn)算可分為兩大類：1代數(shù)運(yùn)算2初等超越運(yùn)算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對(duì)數(shù)、三角、反三角運(yùn)算。
定義，在一個(gè)解析式中，如果對(duì)字母只進(jìn)行有限次代數(shù)運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為代數(shù)式；如果對(duì)字母進(jìn)行了有限次的初等超越運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為初等超越式，簡(jiǎn)稱超越式。還可以進(jìn)一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運(yùn)算稱為整式（或多項(xiàng)式），其余的有理式稱為分式。
“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運(yùn)算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計(jì)算對(duì)象擴(kuò)大化，即數(shù)系的擴(kuò)大化問題。將抽象的符號(hào)運(yùn)算應(yīng)用到更一般的對(duì)象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。
數(shù)學(xué)符號(hào)具有重要的屬性一是它的抽象性。符號(hào)代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號(hào)不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡(jiǎn)約形象。等式和方程
�。ㄒ唬┓匠痰暮x“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個(gè)定義簡(jiǎn)單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r(jià)值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。
判斷一個(gè)代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數(shù)（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。
方程的分類依照方程解的個(gè)數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無窮多個(gè)解和全體實(shí)數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個(gè)數(shù)來分類：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱這兩個(gè)不等式是同解的。
不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號(hào)方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號(hào)方向改變。不等式的實(shí)際應(yīng)用在運(yùn)動(dòng)變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運(yùn)動(dòng)變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊(yùn)含的思想
�。ㄒ唬┠Ｐ退枷肱c相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達(dá)形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會(huì)解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會(huì)方程是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會(huì)抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)。
方程設(shè)計(jì)思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。
初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。
等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機(jī)的相等。不等式
學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區(qū)域。
不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨(dú)立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。
不等式的含義兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式用符號(hào)連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對(duì)不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號(hào)兩邊的解析式都是代數(shù)式時(shí)，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱為超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。
一個(gè)不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解
刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實(shí)際問題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。
1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)。”由此演變?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)。”。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數(shù)：
1）對(duì)
中每一個(gè)元素
，存在
，使
��；
�。�2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對(duì)應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想
數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號(hào)表示函數(shù)。函數(shù)的表達(dá)方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。
解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對(duì)初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達(dá)變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達(dá)函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)
數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及
奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個(gè)周期里的變化，了解函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的變化情況。
�。ǘ┖瘮�(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們?cè)谥袑W(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對(duì)稱性質(zhì)，可以幫助我們用對(duì)稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。
�。ㄈ┖瘮�(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢(shì)的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系
�。ㄒ唬┖瘮�(shù)與方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個(gè)求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容
�。ㄒ唬┲庇^幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認(rèn)識(shí)圖形的初級(jí)階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強(qiáng)調(diào)幾何直觀。
�。ǘ┭堇[幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，標(biāo)，即零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)問題。
�。ǘ┖瘮�(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)集，有時(shí)也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。
（三）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。
�。ㄋ模┖瘮�(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，首先，要確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。最后，討論目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。
解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標(biāo)函數(shù)；第二步，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型
函數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義。現(xiàn)實(shí)生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)建模的思想進(jìn)行解決。在運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。
在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過運(yùn)算來體驗(yàn)函數(shù)模型的多樣性。
通過實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測(cè)、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵(lì)學(xué)生收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。
實(shí)驗(yàn)幾何的形成和發(fā)展
人們?cè)谟^察、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。理論幾何的形成和發(fā)展
柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。
以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對(duì)一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。
�。ㄈ┒攘繋缀螌�(duì)一些圖形進(jìn)行度量，包括長(zhǎng)度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由�。（四）變換幾何也叫運(yùn)動(dòng)幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運(yùn)動(dòng)，以及相似變換、拓?fù)渥儞Q，并借以研究圖形的全等、對(duì)稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標(biāo)幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。
經(jīng)驗(yàn)幾何所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，通常是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗(yàn)幾何的作用
幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。
（一）經(jīng)驗(yàn)幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗(yàn)幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。
學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何的充分學(xué)習(xí)，對(duì)幾何對(duì)象的熟悉及非形式化的推理，達(dá)到知覺性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。
另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗(yàn)歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。
�。ㄈ⿲�(shí)驗(yàn)幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段和一種認(rèn)知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法�？傊�，實(shí)驗(yàn)幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗(yàn)幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時(shí)也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級(jí)抽象充分形式化后，有必要以相對(duì)直觀可信的數(shù)學(xué)對(duì)象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。
幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述
和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。
幾何直觀對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：
首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)ВS著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。
其次，幾何直觀是認(rèn)識(shí)論問題，是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。
借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考一般地，周長(zhǎng)指封閉曲線一周的長(zhǎng)度。（二）面積
物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對(duì)一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數(shù)”標(biāo)志它的大小，稱這個(gè)數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長(zhǎng)為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。
于是，對(duì)于邊長(zhǎng)為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長(zhǎng)A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長(zhǎng)為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長(zhǎng)的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。
這個(gè)過程實(shí)際上論證了“邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長(zhǎng)度的的機(jī)會(huì)，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。
最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。
直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容
以大量豐富的實(shí)例為背景，通過觀察、操作來探索認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗(yàn)幾何的具體研究?jī)?nèi)容
初中幾何的主要課程教學(xué)目標(biāo)在于，“積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會(huì)幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗(yàn)幾何的核心目標(biāo)。按照初中階段的經(jīng)驗(yàn)幾何認(rèn)識(shí)過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認(rèn)識(shí)圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運(yùn)動(dòng)與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長(zhǎng)度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長(zhǎng)度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。
長(zhǎng)度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測(cè)量一公尺長(zhǎng)度中的波長(zhǎng)數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。
目前，國(guó)際上采用的長(zhǎng)度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國(guó)際權(quán)度大會(huì)重新把國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)制（SI）中的長(zhǎng)度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長(zhǎng)度，稱為“米”。
如果可以用一個(gè)線段e衡量?jī)蓷l線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個(gè)線段M，N是可公度的。
輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長(zhǎng)的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個(gè)線段一樣長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)度就是公度量。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對(duì)角線不可公度3.周長(zhǎng)“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長(zhǎng)度。”
比”。
海倫-秦九韶公式
劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長(zhǎng)c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。
（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長(zhǎng)度，再利用有關(guān)公式計(jì)算出這個(gè)幾何體的體積�！懊娣e公理”與測(cè)度公理
既然圖形是一個(gè)集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個(gè)數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)集合函數(shù)顯然是非負(fù)函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對(duì)于周長(zhǎng)一定的矩形來說，邊長(zhǎng)相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對(duì)于面積一定的矩形來說，邊長(zhǎng)相等時(shí)矩形周長(zhǎng)最小，即正方形的周長(zhǎng)最小。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：在周長(zhǎng)相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何
變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念
幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對(duì)于幾何學(xué)的研究有重要作用。
變換群。實(shí)際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。
在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。
全等變換
如果從平面(空間)到其自身的映射，對(duì)于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對(duì)于兩個(gè)全等的圖形上每?jī)蓚�(gè)對(duì)應(yīng)三角形有相反的方向，并且每?jī)蓚�(gè)對(duì)應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對(duì)對(duì)應(yīng)三角形有同一的方向,每對(duì)對(duì)應(yīng)角有同一方向。反演變換
在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對(duì)于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認(rèn)知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認(rèn)→演繹推理→度量計(jì)算。
歐幾里得與演繹幾何
公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。
希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認(rèn)只有13卷。歐幾里得《原本》對(duì)于幾何直觀、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失
《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對(duì)合對(duì)應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內(nèi)的點(diǎn)，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠(yuǎn)點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述
圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個(gè)方面：
（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想
（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會(huì)和人類生活中具有廣泛的普適性。
�。�3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。
�。�4）圖形相似提供了認(rèn)識(shí)三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強(qiáng)化我們對(duì)三角形構(gòu)成元素的認(rèn)識(shí)。
�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系
�。ㄒ唬┢揭�、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換
（二）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對(duì)稱）的復(fù)合而得到。
對(duì)于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對(duì)稱（變換）更為基本。
�。�1）對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸互相平行，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次平移；
（2）對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸相交，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)。反過來，對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來替代完成；對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來完成。
�。�3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱�，自本書問世以來，思想家們�(yōu)橹鴥A倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素。科學(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合；另一方面，需要細(xì)心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)于歐洲人來講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因?yàn)樵谒麄冎坝袣W里得作為典范。
歐幾里得對(duì)牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國(guó)進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀(jì)以來，中國(guó)在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得對(duì)應(yīng)的中國(guó)數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國(guó)從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國(guó)人對(duì)實(shí)際的幾何知識(shí)理解得不錯(cuò)，但他們的幾何知識(shí)從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國(guó)來。此后，又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國(guó)人之中普遍知曉。
如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對(duì)論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場(chǎng)極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識(shí)的這些最新進(jìn)展都不會(huì)水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會(huì)因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認(rèn)為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�，《原本》一書對(duì)人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。
從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認(rèn)為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)。《原本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部?jī)?nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國(guó)布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號(hào)。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國(guó)家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因?yàn)�，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳婵臻g，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的.基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識(shí)。它比三種幾何的關(guān)系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。
義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)簡(jiǎn)析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設(shè)計(jì)風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級(jí)，同時(shí)歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對(duì)推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識(shí)我們周圍的物體和生活空間。
盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對(duì)、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內(nèi)容的精簡(jiǎn)與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對(duì)繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴(kuò)大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對(duì)于演繹推理的互補(bǔ)作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)就是這樣的重要觀點(diǎn)之一。
從國(guó)際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動(dòng)起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗(yàn)，有的因觀點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等觀念已被不少國(guó)家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對(duì)應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和更新的研究視野。
對(duì)第五公設(shè)是否獨(dú)立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。
非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何
家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨(dú)立無關(guān)的。黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會(huì)在高中繼續(xù)出現(xiàn)。
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒?dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測(cè)量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對(duì)圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。
推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測(cè)某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運(yùn)算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。
直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)特點(diǎn)與綜合幾何的差異
與綜合幾何相比，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何有著更現(xiàn)實(shí)的意義和課程設(shè)計(jì)的特色：
1．不同的課程目標(biāo)和價(jià)值取向
從課程設(shè)計(jì)的角度看，直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何更接近于認(rèn)知發(fā)展取向的課程設(shè)計(jì)模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設(shè)計(jì)模式。
2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系
以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計(jì)，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)觀認(rèn)為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動(dòng)的新關(guān)系。
3．不同的課程設(shè)計(jì)風(fēng)格
在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗(yàn)型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何屬于典型的經(jīng)驗(yàn)型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國(guó)實(shí)行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。
4．不同的教學(xué)要求
在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程實(shí)施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計(jì)時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識(shí)圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進(jìn)入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國(guó)初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理
能力是普遍趨勢(shì)。第三章統(tǒng)計(jì)與概率
準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系
（一）研究問題的出發(fā)點(diǎn)不同數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒有定義無法進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計(jì)研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。但是，統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識(shí)、思想方法作為統(tǒng)計(jì)分析的工具。
�。ǘ┭芯繂栴}的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號(hào)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進(jìn)行推斷的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動(dòng)的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒?dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測(cè)量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)（幾何課與實(shí)際活動(dòng)課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對(duì)圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。
初中階段屬于從直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級(jí)仍是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說理，而九年級(jí)已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。
在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。
在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。
如何理解初中幾何的核心目標(biāo)發(fā)展幾何直觀與推理能力
在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測(cè)某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性�；诖�，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把認(rèn)識(shí)或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。
（三）研究問題的方法不同與概念和符號(hào)相對(duì)應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。
�。ㄋ模┭芯繂栴}的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對(duì)與錯(cuò)，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，從這個(gè)意義上說，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。
數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測(cè)和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯(cuò)的。
�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識(shí)、所研究問題的專業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本。
（2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測(cè)、抽樣觀測(cè)和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種方式。全面觀測(cè)又稱普查，即對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測(cè)，測(cè)定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測(cè)又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測(cè)定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究?jī)?nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。
（3）安排特定實(shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進(jìn)行分析。
�。�4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢(shì)。另一種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡(jiǎn)單描述性統(tǒng)計(jì)量。
�。�5）統(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)。
（6）統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的對(duì)象，是隨機(jī)變量在未來某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對(duì)該變量進(jìn)行觀測(cè)時(shí)將取的值。
�。�7）統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測(cè)，并考慮到行動(dòng)的后果而制定的一種行動(dòng)方案。初中統(tǒng)計(jì)與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：
描述統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步擴(kuò)展----描述統(tǒng)計(jì)的基本目標(biāo)在于以最簡(jiǎn)單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。
滲透數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想----數(shù)理統(tǒng)計(jì)與描述統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對(duì)樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個(gè)關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運(yùn)用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡(jiǎn)單計(jì)算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際的問題。
普查：為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對(duì)象的全體稱為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)量叫樣本容量。隨機(jī)事件和樣本空間
在一定條件實(shí)現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：
信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度
極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。
樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念
加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計(jì)算，即一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，
(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
〔2)每次試驗(yàn)可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗(yàn)之前不能確定；
(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一個(gè)隨機(jī)事件
樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中所對(duì)應(yīng)的一切隨機(jī)事件。數(shù)據(jù)的收集
數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)實(shí)生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。
數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：
一方面，對(duì)于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；
另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析
數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：
第一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的；
第二，了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；
第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。
理解兩種估計(jì)方法，一種是用樣本的頻率分布來估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢(shì)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率
我們稱每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對(duì)總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。而頻率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達(dá)排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。區(qū)別：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，所有數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)。
統(tǒng)計(jì)表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)圖是借助于幾何線、形(線段、長(zhǎng)方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢(shì)和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡(jiǎn)單的幾何圖形，即等寬條形的長(zhǎng)短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計(jì)圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對(duì)稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。
直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。
扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇形圖能直觀地、生動(dòng)地反映各部分在總體中所占的比例。
扇形統(tǒng)計(jì)圖具有四個(gè)特點(diǎn)：
一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，
二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，
四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計(jì)圖中，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計(jì)圖
用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)。折線統(tǒng)計(jì)圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，而概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，在解決實(shí)際問題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的
隨機(jī)事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量刻畫。
概率的定義
頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗(yàn)次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機(jī)性與概率
�。�1）隨機(jī)性和規(guī)律性。
�。�2）概率和機(jī)會(huì)。從某種意義說來，概率描述了某件事
情發(fā)生的機(jī)會(huì)
�。�3）有些概率是無法精確推斷的。
�。�4）有些概率是可以估計(jì)的。隨機(jī)結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗(yàn)等方法來推測(cè)其規(guī)律。我們就是要通過觀測(cè)數(shù)據(jù)，在隨機(jī)性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性
小概率原理是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，“統(tǒng)計(jì)與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會(huì)抽樣的必要性以及用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進(jìn)一步體會(huì)概率的意義，能計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計(jì)初步”，并且將“統(tǒng)計(jì)初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計(jì)初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)的展這一活動(dòng)，有以下幾個(gè)步驟：
第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。
第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補(bǔ)他們?cè)趩渭兊挠^察和操作活動(dòng)中的不足。
第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動(dòng)，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動(dòng)，學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性。
第四，這一活動(dòng)可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動(dòng)，并應(yīng)保證這些活動(dòng)在整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。
第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動(dòng)過程。通過這一活動(dòng)，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)操作，同時(shí)加強(qiáng)和鞏固口頭和書面表達(dá)能力，發(fā)展解決問題的能力，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)
思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。簡(jiǎn)單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個(gè)數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個(gè)數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合
設(shè)置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標(biāo)
教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。
課程目標(biāo)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的課程設(shè)計(jì)提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對(duì)“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的理解，體會(huì)各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動(dòng)”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。
在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：
數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動(dòng)獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達(dá)和交流階段。這種活動(dòng)具有開放性、問題性和社會(huì)性的特點(diǎn)。
小課題研究�；顒�(dòng)基本過程如下：各小組確定活動(dòng)目標(biāo)；根據(jù)目標(biāo)確定本組活動(dòng)內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實(shí)際調(diào)查。合作交流。
動(dòng)手做(Handson)的活動(dòng)。意思是動(dòng)手活動(dòng)，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識(shí)，尤其強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)。基本過程是：提出問題動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達(dá)陳述。具體地說，開
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對(duì)我國(guó)中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對(duì)客觀世界的體驗(yàn)和正確認(rèn)識(shí)，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵
以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗(yàn)問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的
1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗(yàn)。
2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。
3.學(xué)會(huì)與人溝通和合作，學(xué)會(huì)分享。合作的意識(shí)和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。
4.增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會(huì)遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會(huì)從實(shí)際出發(fā)，通過認(rèn)真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養(yǎng)不斷追求的進(jìn)取精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。
5.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)社會(huì)的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。
6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運(yùn)用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。
7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識(shí)儲(chǔ)備，嘗試相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。
初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。
�。�1）建模探究型：以學(xué)生動(dòng)手操作、合作探討、設(shè)計(jì)制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評(píng)價(jià)。
（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識(shí)分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。
�。�3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。
（4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)
1.探究性。探究是人類認(rèn)識(shí)世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對(duì)外部
世界仍充滿強(qiáng)烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個(gè)體發(fā)展的需要和認(rèn)識(shí)規(guī)律。
2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。
3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對(duì)其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。
4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，解決現(xiàn)實(shí)生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與的過程。
5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識(shí)技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識(shí)的量。
6.體驗(yàn)性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認(rèn)識(shí)，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認(rèn)識(shí)，即學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
（3）在實(shí)施過程中，要采取有效的手段對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗(yàn)，為以后進(jìn)行和評(píng)價(jià)提供依據(jù)。
�。�4）要爭(zhēng)取家長(zhǎng)和社會(huì)有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對(duì)實(shí)施研究性學(xué)習(xí)有價(jià)值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。
（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級(jí)實(shí)施研究性學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)定位和主客觀條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級(jí)的操作特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了實(shí)施要求：
①全員參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機(jī)會(huì)；
�、谌蝿�(wù)驅(qū)動(dòng)。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；
�、壑卦趯W(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；
�、苤卦谥R(shí)技能的應(yīng)用而非掌握知識(shí)的數(shù)量；
�、葜卦谟H身參與探索性實(shí)踐活動(dòng)，獲得感悟和體驗(yàn)，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗(yàn)；
�、扌问缴响`活多樣，強(qiáng)調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：
（1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)研究性學(xué)習(xí)課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。
�。�2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動(dòng)，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵(lì)、強(qiáng)化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識(shí)為著眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。
一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要?jiǎng)?chuàng)造性地加以取舍，主動(dòng)設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。
�。�3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計(jì)研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實(shí)施研究計(jì)劃、完成課題目標(biāo)、提高社會(huì)實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。
組織形式有三種類型：小組合作研究、個(gè)人獨(dú)立研究、全班集體研究。其中一致認(rèn)為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施的一般程序
一般可以分為三個(gè)階段：
（1）進(jìn)入問題情境階段（準(zhǔn)備階段）。主要任務(wù)是背景知識(shí)的準(zhǔn)備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。
�。�2）實(shí)踐體驗(yàn)階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問題過程。
�。�3）表達(dá)交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實(shí)踐、體驗(yàn)所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報(bào)告材料，得出結(jié)論，并進(jìn)行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施中的教師指導(dǎo)
（1）在初中不同的學(xué)段和年級(jí)，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。
�。�2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施過程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開展活動(dòng)的情況，有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們
一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目
使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中的問題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團(tuán)結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義
1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會(huì)中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。
2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建模活動(dòng)則為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。
3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)的開展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。
4.有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系
5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣
6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)數(shù)學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題
鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個(gè)方面人手：
�、僮寣W(xué)生了解選題的重要性和基本要求，
�、谥笇�(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評(píng)，或者請(qǐng)本班同學(xué)介紹自己的選題計(jì)劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，
�、劢處焺�(chuàng)設(shè)一個(gè)問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時(shí)教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。
2.實(shí)施
在課題學(xué)習(xí)的實(shí)施中，我們強(qiáng)調(diào)開放學(xué)生的思維，強(qiáng)化過程體驗(yàn)，師生和生生的情感交流和成果共享。
3.指導(dǎo)
在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對(duì)參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對(duì)于學(xué)生的優(yōu)勢(shì)是自然的、常常出現(xiàn)的。
4.評(píng)價(jià)
評(píng)價(jià)過程具體涉及以下幾個(gè)方面：
�、僬{(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡(jiǎn)捷；
�、谝凶约邯�(dú)到的思考和發(fā)現(xiàn)；
�、勰軌蚯‘�(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算工具)；
�、懿捎煤侠�、簡(jiǎn)捷的算法；
�、萏岢鲇袃r(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見地的新問題；
�、薨l(fā)揮每個(gè)組員的特長(zhǎng)，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴(kuò)張資源
對(duì)教育資源的認(rèn)識(shí)應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動(dòng)態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識(shí)地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報(bào)告、程序、制作的作品，以及活動(dòng)過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號(hào)來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡(jiǎn)明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號(hào)語言，使得一定事物的本質(zhì)簡(jiǎn)明的形式表現(xiàn)出來，這種簡(jiǎn)明化使人們?cè)谳^短時(shí)間內(nèi)領(lǐng)會(huì)。概念的外延與內(nèi)涵
概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。
一個(gè)概念所反映的對(duì)象的總和，稱為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對(duì)象，即符合這一概念所有對(duì)象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個(gè)概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力
實(shí)際教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式。
（1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動(dòng)，讓學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)。
�。�2）強(qiáng)凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動(dòng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，不宜強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。
�。�3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵(lì)學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)與尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識(shí)。鼓勵(lì)算法多樣化，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新思維是十分必要的。
�。�4）對(duì)課題學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)應(yīng)該以質(zhì)的評(píng)價(jià)為主。一般說來，對(duì)學(xué)生實(shí)踐與綜合應(yīng)用活動(dòng)的評(píng)價(jià)要強(qiáng)調(diào)過程性評(píng)價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標(biāo)簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)對(duì)建立學(xué)生發(fā)展性評(píng)價(jià)有哪些有益的啟示
�。�1）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過程。
（2）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視理解中的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握的基本技能，應(yīng)用到實(shí)際問題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)價(jià)值的反思，又加深對(duì)知識(shí)內(nèi)涵理解和掌握，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗(yàn)。
�。�4）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價(jià)值取向強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個(gè)別化的評(píng)價(jià)方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)
客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨(dú)有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。
抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對(duì)象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級(jí)的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。
概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對(duì)矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的總和，稱為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量?jī)蓚�(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)，由于人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對(duì)的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)
1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的
2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。
3.數(shù)學(xué)概念是理想概念
4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對(duì)象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系
1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。
2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。
5.對(duì)立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對(duì)立關(guān)系。
把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：
第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級(jí)。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念
數(shù)學(xué)概念的定義與要求
定義是建立概念的邏輯方法人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號(hào)，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對(duì)象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運(yùn)用邏輯的方法和精練的語言或符號(hào)揭示出對(duì)象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:
1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。
3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當(dāng)P假時(shí)，P真。
2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。
3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊(yùn)含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義
關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。
4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。
5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。
此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對(duì)象來進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對(duì)數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求
1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時(shí)又以B概念來定義A概念。
3.定義應(yīng)清楚、簡(jiǎn)明。定義中列舉的屬性對(duì)于揭示概念反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨(dú)立的，不能由列舉出的其它屬性推出。
定義要揭示概念所反映對(duì)象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的形成
數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號(hào)表達(dá)出來。
數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個(gè)階段：
1.觀察實(shí)例。
2.分析共同屬性。分析所觀察實(shí)例的屬性，通過比較得出各實(shí)例的共同屬性。
3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。
4.確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗(yàn)假設(shè)。確認(rèn)本質(zhì)屬性。
5.概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。
6.符號(hào)表示。
7.具體運(yùn)用。使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。
判斷是人們對(duì)事物情況有所肯定或否定的比概念高一級(jí)的思維形式。判斷是屬于主觀對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡(jiǎn)單判斷。簡(jiǎn)單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。
1.負(fù)判斷。負(fù)判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類
所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。
對(duì)于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。
復(fù)合命題的分類
復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。
否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復(fù)合命題“非A”，
析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復(fù)合命題“A且B”蘊(yùn)含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復(fù)合命題“若A則B”，記作AB
等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理
不加證明而被承認(rèn)其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。
任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨(dú)立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨(dú)立性是指該體系中各公理是相互獨(dú)立的，沒有一個(gè)可以由其他公理推出。獨(dú)立性對(duì)整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。
經(jīng)過證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律
1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對(duì)象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。
2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，對(duì)同一對(duì)象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識(shí)，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)2
為了更好地使用小學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們學(xué)校數(shù)學(xué)組開展了一系列的教材培訓(xùn)活動(dòng)，通過不同的方式讓教師熟悉教材的編排，根據(jù)課標(biāo)要求，更好地把握教學(xué)目標(biāo)，編制課程綱要和教學(xué)案。這次培訓(xùn)總結(jié)如下：
1、細(xì)化解讀后的教學(xué)目標(biāo)得到進(jìn)一步明確。教材不是老師上課的講稿，也不是學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)案，而是我們教學(xué)資源中最大的一種。我們不應(yīng)該根據(jù)課本教課本，而是結(jié)合課標(biāo)，利用課本。所以，本次培訓(xùn)活動(dòng)中，大家集思廣益，一直僅僅圍繞課標(biāo)來認(rèn)識(shí)教材，熟悉教材的編排。；利用教育平臺(tái)培訓(xùn)專家細(xì)致的講解讓我們更好地運(yùn)用教材，落實(shí)課標(biāo)。數(shù)學(xué)組成員分工合作，進(jìn)行了不同年級(jí)段知識(shí)點(diǎn)的匯總，結(jié)合課標(biāo)，明確每年級(jí)應(yīng)教什么，如何教，教到什么程度的問題。
2、從實(shí)際活動(dòng)中激活教材。結(jié)合專家講解和教師們自主學(xué)習(xí)，我校數(shù)學(xué)組開展了一系列的觀課活動(dòng)。從本次觀課活動(dòng)中，一方面，我們看到了教師們整合教材，掌控課堂的技能；另一方面，我們更多地關(guān)注教材使用下高效課堂的生成�；钣媒滩模覀兏枰谡n堂效率上有所突破，評(píng)課、議課讓新教材的運(yùn)用更加立體化。
3、從反思中查看自己的不足，在探討中解惑。從培訓(xùn)中，老師們收獲很多，但是我們更關(guān)注每一位教師提出的需要解決的問題。在一次次的集體教研中，針對(duì)一個(gè)問題，大家一起想辦法，設(shè)計(jì)方案，逐個(gè)突破，為教師上好每節(jié)課“排憂解難”。
4、進(jìn)一步推進(jìn)了我校特色“易課堂”的實(shí)施。結(jié)合學(xué)校的核心理念，我們必須要帶著新的教師觀、學(xué)生觀、課程觀，精心去上好每節(jié)課，力求節(jié)節(jié)高效，讓高效課堂成為實(shí)施教材的一種常態(tài)。
5、推動(dòng)了綠色指標(biāo)評(píng)價(jià)體系中我校數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)施。每一位教師的教學(xué)觀念、教學(xué)行為、教學(xué)程序、教學(xué)目標(biāo)、評(píng)價(jià)方式……都會(huì)在這場(chǎng)潮流的沖擊下發(fā)生變化。新的.課程要求有新的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合我校實(shí)際情況，我們把鄭州市綠色指標(biāo)評(píng)價(jià)體系與我校實(shí)際情況相結(jié)合，制定出符合我校校情的評(píng)價(jià)體系。制定的評(píng)價(jià)體系更關(guān)注課堂的生成，關(guān)注學(xué)生在課堂上的生命狀態(tài)，過程性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)的比例得到進(jìn)一步的優(yōu)化。
本次培訓(xùn)活動(dòng)，所有數(shù)學(xué)教師積極參與，群策群力認(rèn)真完成每天的學(xué)習(xí)任務(wù)，集體研討、交流，不斷調(diào)試本學(xué)期的課程設(shè)計(jì)，努力把所學(xué)所悟運(yùn)用到課堂上，進(jìn)一步提升課堂的質(zhì)量。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)3
20xx年3月17日，我有幸參加了20xx年全國(guó)新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)第四版教材的網(wǎng)絡(luò)研修，經(jīng)過一天的學(xué)習(xí)研討，讓我受益匪淺，對(duì)我今后如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化起到很好的指導(dǎo)作用。下面就根據(jù)我自己這次的培訓(xùn)學(xué)習(xí)談點(diǎn)心得體會(huì)。
一、通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我對(duì)新世紀(jì)小學(xué)《數(shù)學(xué)》(北師大版)第四版教材特色有了深刻的了解。
(一)精心設(shè)計(jì)“情境+問題串”的呈現(xiàn)方式，為自然而然地展開學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)過程提供基礎(chǔ)環(huán)境和主要脈絡(luò)。
(二)在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的背景下，更加重視學(xué)習(xí)目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)。
1.注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想。
2.注重體現(xiàn)“從頭到尾”思考問題的過程。
3.注重在理解的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)對(duì)重要數(shù)學(xué)概念的掌握和基本運(yùn)算技能的`形成。
4.注重學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。
(三)情境設(shè)計(jì)更加注重題材的多樣與豐富。
教材一直關(guān)注設(shè)計(jì)有趣的、現(xiàn)實(shí)的、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)意義和富有挑戰(zhàn)性的情境，這構(gòu)成了教材的鮮明特點(diǎn)。同時(shí)，在情境的設(shè)計(jì)上，更加注重題材的多樣與豐富，并使情境的素材來源盡可能廣泛，富有文化內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)處理好不同題材的平衡。
(四)重新梳理和設(shè)計(jì)練習(xí)題，提供數(shù)量合適、層次合理、形成多樣的習(xí)題。
二、學(xué)會(huì)追問
北師大版教材編寫人之一王昌勝教授給我們作了幾個(gè)案例講座，其一是《一年級(jí)教材‘認(rèn)識(shí)物體’》，其二是《統(tǒng)計(jì)與概率》。兩個(gè)講座給我印象最深的是用簡(jiǎn)單的材料上出富有思考的課，體現(xiàn)“深刻”，符合學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn);上課要學(xué)會(huì)追問，給學(xué)生一個(gè)操作后，老師要追問，把問題推給學(xué)生，在追問中深入，讓他們自己找出問題的答案。追問是檢驗(yàn)學(xué)生是否理解所學(xué)。
三、學(xué)會(huì)處理細(xì)節(jié)
有人說“整體決定成敗，細(xì)節(jié)成就精彩�！钡瘜�(duì)“概念”的咬文嚼字，堅(jiān)持先試后教，設(shè)置或診斷學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙;注重課堂作業(yè)的設(shè)計(jì)與反饋，要層層設(shè)計(jì)與推進(jìn);注重與生活經(jīng)驗(yàn)的恰當(dāng)溝通，不要生拉硬扯，在層層追問中深入;保證學(xué)生有靜悄悄地獨(dú)立思考的時(shí)間;注重學(xué)生思考能力的提升。
通過教材的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我認(rèn)識(shí)到作為一名數(shù)學(xué)教師必須不斷更新自己的教學(xué)觀念，深入地了解自己的學(xué)生，解讀教材教法，在今后的教學(xué)中，我會(huì)結(jié)合班級(jí)的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，引領(lǐng)學(xué)生貼近生活，走進(jìn)數(shù)學(xué)，經(jīng)歷知識(shí)、能力形成的全過程。培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，享受學(xué)習(xí)、享受生活、享受校園生活的快樂。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)4
時(shí)間匆匆，在甘肅教師網(wǎng)已學(xué)習(xí)一個(gè)多月，雖然我一邊忙于平時(shí)的工作,一邊還要抽出余暇時(shí)間上網(wǎng)參與網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)的學(xué)習(xí)。在網(wǎng)上看到名師上課，作地講座，開闊我的視野，增長(zhǎng)了我的學(xué)識(shí)，使我受益匪淺，接下來談?wù)勎业囊恍┦斋@。
第一，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我感覺到與以往一些培訓(xùn)有很大不同，既有視頻資源的學(xué)習(xí)，又有文本資源的研習(xí)，既有比較成功 的案例展示，又有比較深刻的理論論述，也有學(xué)員之間交流。在學(xué)習(xí)的過成中，我還分享了同行們精彩的討論和回帖，有專家們?cè)趯?shí)際教學(xué)中的獨(dú)特理念和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)等等，讓我足不出戶就學(xué)到了許多教育教學(xué)新理念。
第二，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我感覺到有一種緊迫感，我的教學(xué)思想和理念跟專家、名教師相差較遠(yuǎn)，首先這就促使我轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，變“教師的教”為“學(xué)生的學(xué)”。新課程所倡導(dǎo)的課堂教學(xué)，不再是我教你學(xué)、我講你聽、我說你記、我讀你劃，也不是課本劇、教案劇的表演，更不是教師的`灌輸，而應(yīng)該是教師走進(jìn)教材、走進(jìn)學(xué)生的心靈，在教師、學(xué)生、文本三者之間的對(duì)話中，啟發(fā)學(xué)生思考，從而實(shí)現(xiàn)為學(xué)生服務(wù)的目的。所以教師更多應(yīng)該考慮“怎樣教學(xué)生才能愿意學(xué)？”、“怎樣指導(dǎo)學(xué)生才能學(xué)會(huì)？”這樣的問題。如果教師沒有轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，忽視學(xué)生學(xué)的問題，一廂情愿地“灌”，不但沒“灌”進(jìn)去，結(jié)果連學(xué)習(xí)興趣也弄沒了，學(xué)生有的在發(fā)呆，有的在想心事兒，有的在……教師的付出沒有回報(bào)，好心無
人領(lǐng)會(huì)，從而導(dǎo)致教學(xué)無效。其次促使我改變備課角度，變“備教師課程”為“備學(xué)生課程”。學(xué)生學(xué)習(xí)的成效取決于學(xué)習(xí)者根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行意義建構(gòu)的能力而不是取決于學(xué)生記憶和背誦教師講授內(nèi)容的能力。所以備課中教師既不能在用知識(shí)去解釋抽象的概念、原理上下功夫，也不能一味地在教師自身已有的經(jīng)驗(yàn)中找素材，而應(yīng)當(dāng)在創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活實(shí)際有密切聯(lián)系的具體情境上仔細(xì)斟酌，應(yīng)該選擇與學(xué)生生活實(shí)際有密切聯(lián)系的具體情境材料。同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)到學(xué)生的重要性，從而讓學(xué)生熱愛學(xué)習(xí)。
第三，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，使我深深感到小學(xué)數(shù)學(xué)老師要想更有效地為學(xué)生傳授知識(shí)，培養(yǎng)能力。教師的視野必須開闊，不能做井底之蛙，因此，我要在日常教學(xué)之余讀一些本專業(yè)的書，還要對(duì)教心學(xué)、兒童學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域長(zhǎng)期保持關(guān)注并且需要不斷更新相關(guān)知識(shí)，力爭(zhēng)提升學(xué)科素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量，嘗試實(shí)現(xiàn)自身專業(yè)化成長(zhǎng)。
總之，這次網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，讓我發(fā)現(xiàn)了自身的一些優(yōu)勢(shì)和存在的不足，一方面增強(qiáng)了自信，增強(qiáng)教學(xué)業(yè)務(wù)，另一方面要不斷的學(xué)習(xí)，特別重要的是能夠在與同行的交流中相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，幫助自己形成一些好的習(xí)慣，形成自己的一種有效的教學(xué)方法。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)5
7月10日，我有幸參加三到六年級(jí)數(shù)學(xué)新教材暑期培訓(xùn)。這一天培訓(xùn)內(nèi)容主要是教材修訂專家對(duì)教材的調(diào)整和變化作一些說明。
新教材主要調(diào)整和變化有以下幾個(gè)方面：
一、重新整合原來有聯(lián)系的小單元，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
如三年級(jí)上冊(cè)重新整合乘、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法。第一單元是兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，例題是筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)，試一試三位數(shù)乘一位數(shù)，這樣通過對(duì)比促進(jìn)計(jì)算方法的主要遷移，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)適當(dāng)總結(jié)計(jì)算方法。第四單元教學(xué)兩三位數(shù)除以一位數(shù)，整個(gè)單元內(nèi)容豐富、龐雜，由淺入深，層層遞進(jìn)，合理組織教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)計(jì)算方法的自主遷移。四年級(jí)上冊(cè)合理整合除數(shù)是兩位數(shù)除法計(jì)算的教學(xué)內(nèi)容。五年級(jí)上冊(cè)整合小數(shù)乘除法，適當(dāng)加強(qiáng)小數(shù)四則混合運(yùn)算，更加強(qiáng)調(diào)聯(lián)系整數(shù)四則計(jì)算的方法、探索相應(yīng)的小數(shù)計(jì)算方法
二、解決問題策略方面作了調(diào)整和變化，提高學(xué)生解決問題的能力。
三年級(jí)上冊(cè)增設(shè)了“從條件出發(fā)分析和解決問題”的策略。其中教材大幅度降低了例題習(xí)題的難度，突出了解決問題的步驟和方法，增設(shè)“從條件或問題出發(fā)分析思考”的策略，清楚地呈現(xiàn)解決問題的基本步驟：理解、分析、列式、回顧反思。四年級(jí)上冊(cè)解決問題策略主要編排特點(diǎn)：經(jīng)歷解決問題的過程，歸納了解決問題的一般步驟即理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、列式解答、檢驗(yàn)反思�；蛘吡斜碚�?xiàng)l件和問題、從條件和問題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算、檢驗(yàn)反思。創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題情境，引發(fā)學(xué)生整理?xiàng)l件和問題的愿望，改變問題的呈現(xiàn)方式，經(jīng)歷把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程。五年級(jí)上冊(cè)降低用列舉策略解決問題的難度，突出有序思考的意義和價(jià)值，不涉及分類列舉。
三、從三年級(jí)上冊(cè)開始逐冊(cè)安排“探索規(guī)律”專題活動(dòng)。讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象、由特殊到一般的過程。但應(yīng)用規(guī)律不作要求沒有習(xí)題，不作為考試要求。三上安排了《間隔排列》，四上安排《簡(jiǎn)單的周期》，五上安排《釘子板上的多邊形》，六上《表面涂色的正方體》。
四、其它調(diào)整和變化。
提前在三上安排“平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱”適當(dāng)降低教學(xué)要求，注重現(xiàn)象。
后移“24時(shí)計(jì)時(shí)法”“觀察物體”和“可能性”等內(nèi)容。
第二學(xué)段四年上冊(cè)可能性不要求用分?jǐn)?shù)表示，只要學(xué)生定性把握可能性大小。
更加重視組合圖形和不規(guī)則圖形面積的計(jì)算。
用字母表示數(shù)從四下移至五上。
總之，教材的`重新修訂更加重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，重視學(xué)生的活動(dòng)過程，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，用好新教材，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為以后社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的廣泛的應(yīng)用提供保證，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)6
為新學(xué)期能更好地使用新的課程標(biāo)準(zhǔn)(20xx年版)，尤其是一年級(jí)教師能更好地使用新教材，20xx年11月6日下午1:30，我們岸堤中心小學(xué)開展了新教材培訓(xùn)。
改版后的新教材在版面設(shè)計(jì)上更符合一年級(jí)孩子的年齡特征。本書變大了，書本里面的圖畫更加鮮艷更加生動(dòng)了。新教材所設(shè)計(jì)的情境、插圖的內(nèi)容貼近學(xué)生生活，圖畫風(fēng)格和色彩符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，變枯燥無味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為富有兒童情趣且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。新教材無論是在內(nèi)容的選擇還是在呈現(xiàn)方式上，都注入了新血液、新精神，圖文并茂、形象直觀、生動(dòng)有趣、貼近學(xué)生生活，充滿了時(shí)代氣息。新教材在內(nèi)容上所做的調(diào)整，更是體現(xiàn)了以“學(xué)生發(fā)展為本”的理念。
新教材在內(nèi)容做了如下調(diào)整：
一、加強(qiáng)了知識(shí)的準(zhǔn)備性。
一年級(jí)剛?cè)胄５?孩子要在角色上實(shí)現(xiàn)成功的轉(zhuǎn)換需要一個(gè)過渡時(shí)期，第一單元《準(zhǔn)備課》刪除了比高矮、比長(zhǎng)短等與數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)聯(lián)不大的內(nèi)容，調(diào)進(jìn)了一年二期的《位置》，但刪除了左右的相對(duì)性，這樣的調(diào)整更貼近一年級(jí)學(xué)生的實(shí)際，讓學(xué)生能在數(shù)一數(shù)和說一說的過程中愉快的適應(yīng)一年級(jí)的新生活。
二、降低了知識(shí)的難度。
一年級(jí)的許多老師在教學(xué)實(shí)踐中都深有體會(huì)，有些知識(shí)過早的教授給孩子，他們很難理解和掌握，有時(shí)不得不強(qiáng)行灌輸，這給教學(xué)帶來了許多的困擾和難題。新教材在內(nèi)容的編排上更加科學(xué)合理，分散了平面圖形和立體圖形的編排，將認(rèn)識(shí)平面圖形移至下冊(cè)，這樣就減少了平面圖形與立體圖形之間的互相干擾；將《認(rèn)識(shí)鐘表》這一單元的認(rèn)識(shí)半時(shí)移至二年級(jí)上冊(cè)，減少了半時(shí)對(duì)整時(shí)的干擾性，這樣的調(diào)整更加符合孩子的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。新教材還加強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的整理，在練習(xí)的設(shè)計(jì)上，注重前后知識(shí)的聯(lián)系，并注重對(duì)知識(shí)的滲透，填未知數(shù)不再作為一個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容出現(xiàn)，而是以多種形式逐步滲透在練習(xí)中，讓學(xué)生更加容易接受這一知識(shí)難點(diǎn)。
三、注重對(duì)孩子解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，突出了解決問題的一般方法與過程。
新教材提供鮮活生動(dòng)的場(chǎng)景后，非常注意引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的方法�！澳阒懒耸裁�？”——“怎樣解答？”——“解答正確嗎？”，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，不僅可以體會(huì)數(shù)學(xué)問題的提出，數(shù)學(xué)問題的解決，還讓學(xué)生在自我反思的過程中為教學(xué)評(píng)價(jià)提供了線索，更強(qiáng)化了老師與學(xué)生之間的互動(dòng)。
新教材還增加了數(shù)學(xué)的背景知識(shí)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，豐富了孩子的數(shù)學(xué)視野，能更好的激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望。
此次培訓(xùn)，老師們都有很深的體會(huì)和感悟。每個(gè)教師都有自己的教學(xué)風(fēng)格，但對(duì)教材的正確理解和深入鉆研是有效教學(xué)的第一步，因此，認(rèn)真研讀新教材，領(lǐng)悟其中的精神和內(nèi)涵，才能更好的踐行新課程標(biāo)準(zhǔn)。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)7
通過培訓(xùn)我深深感受到了教育局領(lǐng)導(dǎo)對(duì)我們教師的關(guān)心，對(duì)我們教師的教學(xué)水平與個(gè)人綜合素質(zhì)的關(guān)注。本次學(xué)習(xí)不但澄清了我對(duì)一些數(shù)學(xué)題目的一些模糊熟悉，而且對(duì)我今后如何實(shí)踐新課改理念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最優(yōu)化起到了很好的指導(dǎo)作用�，F(xiàn)將自己的點(diǎn)滴體會(huì)總結(jié)以下：
一、對(duì)教材有了更加深入的整體熟悉。
人教版教材的整體特點(diǎn)是情境串引提題目串，讓學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)情境中題目的進(jìn)程中引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，然后把學(xué)到的新知識(shí)又作為解決新題目的工具，讓學(xué)生把解決題目與知識(shí)學(xué)習(xí)融會(huì)在同一進(jìn)程中。同時(shí)在情境圖的解讀進(jìn)程中滲透對(duì)學(xué)生的思想教育和情感教育。固然每學(xué)期我們都對(duì)所教教材進(jìn)行了解讀，但我們對(duì)教材的熟悉僅停留在本冊(cè)教材上，只是對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)重難點(diǎn)、教材處理等進(jìn)行淺層次理解。
對(duì)其他年級(jí)各冊(cè)教材與本冊(cè)教材之間的關(guān)系，知識(shí)結(jié)構(gòu)，目標(biāo)體系知之甚微。通過學(xué)習(xí)，對(duì)青島版教材有了新的熟悉，新的理解，每單元的知識(shí)基礎(chǔ)是甚么，在教材中的地位是什么，通過學(xué)習(xí)都已做到了心中有數(shù)。這樣為我在今后每單元的教學(xué)中，如何做好與前面知識(shí)的銜接，如何向后續(xù)知識(shí)延伸和拓展。起到了很好的'指導(dǎo)作用。
二、明確了每單元、每課教材的教學(xué)策略
1、每個(gè)單元的教學(xué)，要建立單元教學(xué)思想，捉住關(guān)鍵，突出重點(diǎn)。關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，弄清學(xué)生每個(gè)單元已學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，要學(xué)習(xí)哪些知識(shí)，為哪些后續(xù)知識(shí)做預(yù)備。
2、每課的教學(xué)要讀懂圖中故事和圖中信息，在讀懂信息的基礎(chǔ)上提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)題目。并且一定要把題目寫在黑板上。在解決題目的進(jìn)程中讓學(xué)生經(jīng)歷操縱觀察——形象感受——抽象概括等進(jìn)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。重視解題方法和解決題目策略的比較和提升。
教師要加大對(duì)學(xué)生的解決題目思惟方式的引領(lǐng)和指導(dǎo)力度，給學(xué)生留下自主探索的時(shí)間和空間，進(jìn)一步拓寬學(xué)生解決題目的渠道，進(jìn)步學(xué)生的解決題目的能力，進(jìn)步學(xué)生的自主探索能力，進(jìn)步學(xué)生的知識(shí)遷移學(xué)習(xí)能力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。充分發(fā)揮教師的作用，幫助學(xué)生有效地展開探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。重視自主練習(xí)的處理，對(duì)每道練習(xí)題目，不但要能正確解答，而且要更深層次的發(fā)掘練習(xí)的含義，有些新知識(shí)的學(xué)習(xí)就放在一些練習(xí)題目中。
本次教材培訓(xùn)對(duì)我們而言，是一次寶貴的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，令我收獲頗豐，使我對(duì)教材又有了一個(gè)新的熟悉。新教材不但關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還關(guān)注學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);新教材不但關(guān)注了學(xué)生分析題目、解決題目的能力，還關(guān)注了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)題目和提出題目的能力，為我們以后的教學(xué)工作指明的方向。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)8
參加對(duì)教材培訓(xùn)的學(xué)習(xí)，使我對(duì)新課標(biāo)的要求有了新的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，感受到教材的編寫無論是從內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，還是頁面的設(shè)置上都重視兒童已有的經(jīng)驗(yàn)和興趣特點(diǎn)，提供豐富的與兒童生活背景有關(guān)的素材，這些正是激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，新教材無論教學(xué)內(nèi)容安排還是呈現(xiàn)形式，處處都是以學(xué)生為中心，以重視和培養(yǎng)學(xué)生的能力為目的。下面就是自己學(xué)習(xí)之后的一些膚淺的.認(rèn)識(shí)和體會(huì)：
一、理解新課程的基本理念，改變教學(xué)方法。
新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一是“實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。理念之二是“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)貼近學(xué)生的生活，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”�；纠砟钪恰皩W(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”。教師要深入、全面地學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，理解課程標(biāo)準(zhǔn)的精神實(shí)質(zhì)，掌握課程標(biāo)準(zhǔn)的思想內(nèi)涵，通曉課程標(biāo)準(zhǔn)的整體要求，才能目的明確、方向集中地鉆研教材，具體、準(zhǔn)確地把握教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，從而得心應(yīng)手地駕弩教材，靈活自如地選擇教法。
二、適當(dāng)調(diào)整知識(shí)結(jié)構(gòu)，提供清晰的線索和步驟。
新教材根據(jù)教材實(shí)驗(yàn)結(jié)果和教師們的普遍意見對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整。如統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容適當(dāng)降低難度，第一學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率部分內(nèi)容大幅減少，部分內(nèi)容移到第二學(xué)段。如一年級(jí)上冊(cè)“時(shí)間”這一單元，將原來的“教學(xué)整時(shí)和半時(shí)”改為只教學(xué)“整時(shí)”。再如教材系統(tǒng)處理了“解決問題”，為實(shí)現(xiàn)“解決問題”的課程目標(biāo)提供教學(xué)思路、發(fā)展線索和可操作的案例；針對(duì)在實(shí)驗(yàn)教材使用過程中，廣大教師、教研員提出的不適用的教學(xué)素材；例題設(shè)置中的一些不合適的呈現(xiàn)方式；練習(xí)題編制中的有難度或效率低的題目；等等，進(jìn)行細(xì)致地修改。循序漸進(jìn)的提供解決問題的一般步驟，教給學(xué)生解決問題的基本方法。因而此次課改通過教材修訂研究和精心制作工作，形成了一套文字表述準(zhǔn)確，易懂、可讀性強(qiáng)，版面設(shè)計(jì)清爽美觀，圖文并茂配合恰當(dāng)，裝幀精美，教師能準(zhǔn)確把握教材編寫意圖的教材。
總之，面對(duì)新課程改革的挑戰(zhàn)，我們必須多動(dòng)腦筋，多想辦法，密切數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，使學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和客觀事實(shí)出發(fā)，在研究現(xiàn)實(shí)問題的過程中用數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)，讓學(xué)生享受“數(shù)學(xué)學(xué)科的快樂”且快樂地學(xué)數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)總結(jié)9
20xx年xx月xx日，我校組織了全體數(shù)學(xué)教師參加小學(xué)數(shù)學(xué)新教材網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，對(duì)數(shù)學(xué)全體教師進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)新教材網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)學(xué)習(xí)，不僅使我們對(duì)新教材的新理念有了更深一層的理解，讓我們感受到新課程洋溢著時(shí)代的氣息，體現(xiàn)著素質(zhì)教育的理念，越來越感受到這次課改絕對(duì)不僅僅是改變一下教材而已，而是學(xué)生學(xué)習(xí)方式的徹底改革，更是我們教師教學(xué)方法上的重大改革。通過這次培訓(xùn)活動(dòng)，得出以下總結(jié)：
1、新課程把學(xué)生的全面發(fā)展放在首位，這是全新的理念。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中建構(gòu)適應(yīng)自己的一種學(xué)習(xí)方法，即從"學(xué)會(huì)"到"會(huì)學(xué)"的轉(zhuǎn)變，認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入領(lǐng)會(huì)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的精神實(shí)質(zhì)，切實(shí)轉(zhuǎn)變觀念，克服以往在教學(xué)中忽視學(xué)生的主體地位、忽視人文精神和科學(xué)精神的培養(yǎng)、過分追求學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)的錯(cuò)誤傾向，真正確立教育的新理念，通過教學(xué)任務(wù)的完成，全面提高學(xué)生的整體素養(yǎng)。
2、新課程加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題解決。重視數(shù)學(xué)教學(xué)中的"問題解決"是各國(guó)教學(xué)大綱中的一個(gè)顯著特點(diǎn)。解題策略不是一個(gè)獨(dú)立的課題，而是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程，探索的過程，創(chuàng)新的過程，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在其周圍世界中的作用，其主要教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)兒童發(fā)展和應(yīng)用解決問題的'策略，要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過解決問題的探討，
去調(diào)查和理解教學(xué)內(nèi)容，從日常生活的教學(xué)情境中提出問題；發(fā)展和應(yīng)用策略去解決廣泛的各種各樣的問題，在有意義地運(yùn)用數(shù)學(xué)中獲得自信。
3、新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用。新課程的應(yīng)用意識(shí)主要表現(xiàn)在：認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用，面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主要嘗試從數(shù)學(xué)角度運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法尋求、解決問題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。新課程從一年級(jí)開始就將數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用相結(jié)合，作為培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的一個(gè)重要途徑。
4、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要盡可能營(yíng)造一種公平的教學(xué)環(huán)境，使不同層次的每個(gè)學(xué)生都能以平等的身份受到平等的教育，要讓每個(gè)學(xué)生都得到發(fā)展;對(duì)每一個(gè)學(xué)生的理解、信任、期待和熱愛。成功的教學(xué)不是學(xué)生都沒有缺點(diǎn)，都不犯錯(cuò)誤，而是我們?nèi)绾稳タ创龑W(xué)生所謂的缺點(diǎn)錯(cuò)誤，如果能把它看成是“尚未成為的優(yōu)點(diǎn)”的話，那么我們就會(huì)以深厚的愛心、坦蕩的襟懷、規(guī)范的言行、無私的奉獻(xiàn)、高度的責(zé)任感去期待、幫助學(xué)生成長(zhǎng)，既要把學(xué)生看作是認(rèn)知體，更要把他們看作是生命體，教學(xué)過程應(yīng)伴隨著師生愉悅的情緒，讓學(xué)生更多地在學(xué)習(xí)過程中獲得快樂，而不是在結(jié)果中獲得快樂;學(xué)習(xí)是兒童的天生愿望，學(xué)生如果有一個(gè)愉快的心情，接受新思想新知識(shí)的能力會(huì)大大提高，對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力也會(huì)增強(qiáng)。因此在教學(xué)中，我們要根據(jù)教材內(nèi)容和教學(xué)要求，創(chuàng)設(shè)快樂情境，讓學(xué)生在愉快的情境中學(xué)習(xí)，愉快地獲取知識(shí)。
學(xué)習(xí)培訓(xùn)完新教材，大家懂得了新教材的設(shè)置特點(diǎn)和內(nèi)容，明確了今后工作的目標(biāo)和方向，深刻地體會(huì)到學(xué)習(xí)的重要性。只有不斷的學(xué)習(xí)，不斷加強(qiáng)修養(yǎng)才能提升自己的教學(xué)能力。也只有真正讀懂學(xué)生、讀懂教材、讀懂課堂，才能為孩子們奉獻(xiàn)出既 “好吃”又 “有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)。
XX小學(xué)教導(dǎo)處
20xx年xx月xx日
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