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考研統(tǒng)計(jì)學(xué)多元回歸知識要點(diǎn)
應(yīng)用統(tǒng)計(jì)碩士考研需要掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)先關(guān)知識點(diǎn)，考研總結(jié)了一些統(tǒng)計(jì)學(xué)要點(diǎn)，方便大家進(jìn)行學(xué)習(xí)。下面是有關(guān)多元回歸的知識點(diǎn)，具體內(nèi)容如下。
考研統(tǒng)計(jì)學(xué)多元回歸知識要點(diǎn) 1
1.多重共線性
回歸模型中兩個或兩個以上的自變量彼此相關(guān)
多重共線性帶來的問題有
可能會使回歸的結(jié)果造成混亂，甚至?xí)逊治鲆肫缤?/p>
可能對參數(shù)估計(jì)值的正負(fù)號產(chǎn)生影響，特別是各回歸系數(shù)的正負(fù)號有可能同我們預(yù)期的正負(fù)號相反
2.多重共線性的識別
檢測多重共線性的最簡單的一種辦法是計(jì)算模型中各對自變量之間的相關(guān)系數(shù)，并對各相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)
若有一個或多個相關(guān)系數(shù)顯著，就表示模型中所用的自變量之間相關(guān)，存在著多重共線性
如果出現(xiàn)下列情況，暗示存在多重共線性
模型中各對自變量之間顯著相關(guān)。
當(dāng)模型的線性關(guān)系檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))顯著時，幾乎所有回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)卻不顯著
回歸系數(shù)的正負(fù)號與預(yù)期的相反。
3.變量選則過程
在建立回歸模型時，對自變量進(jìn)行篩選
選擇自變量的原則是對統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)
將一個或一個以上的自變量引入到回歸模型中時，是否使得殘差平方和(SSE)有顯著地減少。如果增加一個自變量使SSE的減少是顯著的，則說明有必要將這個自變量引入回歸模型，否則，就沒有必要將這個自變量引入回歸模型
確定引入自變量是否使SSE有顯著減少的方法，就是使用F統(tǒng)計(jì)量的值作為一個標(biāo)準(zhǔn)，以此來確定是在模型中增加一個自變量，還是從模型中剔除一個自變量
變量選擇的方法主要有：向前選擇、向后剔除、逐步回歸、最優(yōu)子集等
4.向前選擇
從模型中沒有自變量開始
對k個自變量分別擬合對因變量的一元線性回歸模型，共有k個，然后找出F統(tǒng)計(jì)量的值最高的模型及其自變量(P值最小的)，并將其首先引入模型
分別擬合引入模型外的k-1個自變量的線性回歸模型
如此反復(fù)進(jìn)行，直至模型外的自變量均無統(tǒng)計(jì)顯著性為止
5.向后剔除
先對因變量擬合包括所有k個自變量的回歸模型。然后考察p(p
考察p-1個再去掉一個自變量的模型(這些模型中每一個都有k-2個的自變量)，使模型的SSE值減小最少的自變量被挑選出來并從模型中剔除
如此反復(fù)進(jìn)行，一直將自變量從模型中剔除，直至剔除一個自變量不會使SSE顯著減小為止
6.逐步回歸
將向前選擇和向后剔除兩種方法結(jié)合起來篩選自變量
在增加了一個自變量后，它會對模型中所有的變量進(jìn)行考察，看看有沒有可能剔除某個自變量。如果在增加了一個自變量后，前面增加的某個自變量對模型的貢獻(xiàn)變得不顯著，這個變量就會被剔除
按照方法不停地增加變量并考慮剔除以前增加的變量的可能性，直至增加變量已經(jīng)不能導(dǎo)致SSE顯著減少
在前面步驟中增加的自變量在后面的步驟中有可能被剔除，而在前面步驟中剔除的自變量在后面的步驟中也可能重新進(jìn)入到模型中
7.虛擬自變量
用數(shù)字代碼表示的定性自變量
虛擬自變量可有不同的水平
只有兩個水平的虛擬自變量。比如，性別(男，女)
有兩個以上水平的虛擬自變量，貸款企業(yè)的類型(家電，醫(yī)藥，其他)
虛擬變量的取值為0，1
回歸模型中使用虛擬自變量時，稱為虛擬自變量的回歸
當(dāng)虛擬自變量只有兩個水平時，可在回歸中引入一個虛擬變量，比如，性別
一般而言，如果定性自變量有k個水平，需要在回歸中模型中引進(jìn)k-1個虛擬變量
例：引進(jìn)虛擬變量時，回歸方程可寫：
E(y) =b0+ b1x1+ b2x2
女( x2=0)：E(y|女性) =b0 +b1x1
男(x2=1)：E(y|男性) =(b0 + b2 ) +b1x1
b0的含義表示：女性職工的期望月工資收入
(b0+ b2)的含義表示：男性職工的期望月工資收入
b1含義表示：工作年限每增加1年，男性或女性工資的平均增加值
b2含義表示：男性職工的期望月工資收入與女性職工的期望月工資收入之間的差值 (b0+ b2)-b0= b2。
已經(jīng)進(jìn)入10月份了，距離考試的時間越來越近了。正處于考研復(fù)習(xí)的關(guān)鍵時刻，考生們保持良 好的心態(tài)，全身心的投入到考研復(fù)習(xí)中去。
考研統(tǒng)計(jì)學(xué)多元回歸知識要點(diǎn) 2
一、統(tǒng)計(jì)圖表
1．統(tǒng)計(jì)圖
�。�1）概念：統(tǒng)計(jì)圖是用圖形的形式呈現(xiàn)研究的數(shù)量化結(jié)果的一種形式。
�。�2）組成及特點(diǎn)如下：
①統(tǒng)計(jì)圖一般由圖題、變量說明、坐標(biāo)軸及單位、圖形4個部分組成。常見的統(tǒng)計(jì)圖有線性圖、條形圖、圓形（扇形）圖和組織圖等。
②統(tǒng)計(jì)圖比統(tǒng)計(jì)表更直觀，更易于理解。但是，統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表一樣，不能代替研究報(bào)告中的有關(guān)文字?jǐn)⑹觯荒苡脕韽?qiáng)調(diào)某些重要的數(shù)據(jù)關(guān)系。
③不同的統(tǒng)計(jì)圖表達(dá)的效果是有區(qū)別的，即使選用同一種統(tǒng)計(jì)圖，繪制方法的不同（如采用不同的軸單位尺度）也可能造成表達(dá)效果的差異。
2．統(tǒng)計(jì)表
（1）概念：統(tǒng)計(jì)表是用表格的形式呈現(xiàn)研究的數(shù)量化結(jié)果的方式之一。
（2）組成及特點(diǎn)如下：
�、僖粋�統(tǒng)計(jì)表通常包括表題、表體和表注三部分。表題是統(tǒng)計(jì)表的標(biāo)題。表體是統(tǒng)計(jì)表的主體內(nèi)容，包括研究的對象或特征，研究對象或特征的指標(biāo)、類別、數(shù)據(jù)結(jié)果等內(nèi)容。表注是對統(tǒng)計(jì)表中有關(guān)內(nèi)容的說明，包括對表的來源、用途等作的注的說明。有時可以說明統(tǒng)計(jì)推論的結(jié)果和結(jié)論。
�、谘芯康膶ο蠡蛱卣髅Q一般列在表的左邊一列；研究對象或特征的指標(biāo)、類別名稱一般列在表的上邊一欄；同一縱列上的數(shù)據(jù)所保留的小數(shù)位要一致，位數(shù)要對齊。
③統(tǒng)計(jì)表的類型主要包括原始數(shù)據(jù)表、次數(shù)分布表和分析結(jié)果表等。
二、集中量數(shù)
1．算術(shù)平均數(shù)
�。�1）概念：算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。它是一種集中量數(shù)，是某一特質(zhì)“真值”的漸進(jìn)、最佳的估計(jì)值。
表達(dá)公式：
式中N為數(shù)據(jù)個數(shù)，Xi為每一個數(shù)據(jù)，∑為相加求和。
�。�2）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是：反應(yīng)靈敏；計(jì)算方便；適合代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動的影響較小。具體表現(xiàn)在以下幾個方面：
�、佼�(dāng)只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)；
②用加權(quán)法可以求出幾個平均數(shù)的總平均數(shù)；
�、塾脴颖緮�(shù)據(jù)推斷總體集中量時，算術(shù)平均數(shù)最接近于總體集中量的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值；
�、茉谟�(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時，都要用到它。
�。�3）算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn)：易受兩極端數(shù)值（極大或極小）的影響并且當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某個數(shù)值的大小不夠確切時就無法計(jì)算其算術(shù)平均數(shù)。
（4）算術(shù)平均數(shù)的條件要求如下：
�、贁�(shù)據(jù)必須是同質(zhì)的，即同一種測量工具所測量的某一特質(zhì)；
�、跀�(shù)據(jù)取值必須明確；
�、蹟�(shù)據(jù)離散不能太大。
�。�5）算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)：
①在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差（稱離均差）的總和等于零；
�、谠谝唤M數(shù)據(jù)中，每個數(shù)都加上一常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C；
③在一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)都乘以一個常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C。
�。�6）應(yīng)用平均數(shù)的原則
①同質(zhì)性原則，即使用同一種觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)；
�、谄骄鶖�(shù)和個體數(shù)值相結(jié)合的原則；
�、燮骄鶖�(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則。
2．中數(shù)（Median，符號為Md）
�。�1）概念：中數(shù)，又稱中位數(shù)，中點(diǎn)數(shù)，中值，是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，在這一數(shù)值上、下各有一半頻數(shù)分布著。即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。這個數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有的數(shù)。
�。�2）中數(shù)的計(jì)算方法
�、僭紨�(shù)值計(jì)算方法
將一組原始數(shù)據(jù)依大小順序排列后，若總頻數(shù)為奇數(shù)，就以位于中央的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)；若總頻數(shù)為偶數(shù)，則以最中間的兩個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)。
�、陬l數(shù)分布表計(jì)算法
若一組原始數(shù)據(jù)已經(jīng)編成了頻數(shù)分布表，可用內(nèi)插法，通過頻數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)。
�。�3）中位數(shù)雖然也具備一個良好的集中量所應(yīng)具備的某些條件，例如比較嚴(yán)格確定，簡明易懂，計(jì)算簡便，受抽樣變動影響較小，但是它不適合進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算。它適用于以下幾種情況：
�、僖唤M數(shù)據(jù)中有特大或特小兩極端數(shù)值時；
�、谝唤M數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)不確切時；
�、圪Y料屬于等級性質(zhì)時；
�、墚�(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時。
3．眾數(shù)（Mode，簡稱Mo）
�。�1）概念：眾數(shù)又稱為范數(shù)，密集數(shù)，是指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)的數(shù)值。它也是一種集中量數(shù)，也可用來代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。
（2）計(jì)算眾數(shù)的方法
�、僦苯佑^察求眾數(shù)。直接觀察求眾數(shù)的方法很簡單，就是只憑觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，觀察次數(shù)最多的那個分組區(qū)間的組中值為眾數(shù)。依據(jù)次數(shù)分組表計(jì)算眾數(shù)受分組的影響。
②用公式計(jì)算的眾數(shù)稱為數(shù)理眾數(shù)。當(dāng)次數(shù)分布曲線的形式已知時，可用積分的方法求眾數(shù)。這種方法較復(fù)雜，在心理與教育統(tǒng)計(jì)中很少應(yīng)用，而應(yīng)用較多的是皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法和金氏插補(bǔ)法。
�。�3）眾數(shù)的意義與應(yīng)用
眾數(shù)的概念簡單明了，容易理解，但它不穩(wěn)定，受分組影響，亦受樣本變動影響。較少受極端數(shù)目的影響，反應(yīng)不夠靈敏。眾數(shù)只是一個估計(jì)值。同時，眾數(shù)不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。所以眾數(shù)不是一個優(yōu)良的集中量數(shù)，應(yīng)用也不廣泛。
考研統(tǒng)計(jì)學(xué)多元回歸知識要點(diǎn) 3
多元線性回歸
多元線性回歸是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種回歸分析方法，用于研究兩個或多個自變量與一個因變量之間的線性關(guān)系。
一、基本定義
定義：多元線性回歸是指研究一個因變量與兩個或兩個以上自變量的回歸關(guān)系，這種關(guān)系可以用線性方程來表示。
應(yīng)用：多元線性回歸在社會科學(xué)、自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等多個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。
二、數(shù)學(xué)模型
多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型為：
[ Y = eta_0 + eta_1X_1 + eta_2X_2 + cdots + eta_pX_p + epsilon ]
其中，( Y ) 是因變量，( X_1， X_2， ldots， X_p ) 是自變量，( eta_0， eta_1， eta_2， ldots， eta_p ) 是回歸系數(shù)，( epsilon ) 是隨機(jī)誤差項(xiàng)。
三、參數(shù)估計(jì)
最小二乘法：用于估計(jì)回歸系數(shù)，目標(biāo)是使預(yù)測值與實(shí)際觀測值之間的誤差平方和最小。
統(tǒng)計(jì)軟件：如SPSS、R、Python等，用于參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)。
四、模型評估
擬合優(yōu)度：常用指標(biāo)包括R平方和調(diào)整后的R平方，R平方越接近1，模型擬合度越好。
顯著性檢驗(yàn)：用于確定自變量對因變量的影響是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。
殘差分析：用于評估模型是否符合線性回歸的假設(shè)條件。
五、注意事項(xiàng)
自變量選擇：可以通過相關(guān)分析、逐步回歸等方法來選擇對因變量有顯著影響的自變量。
多重共線性：可能導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，需要處理。
模型解釋：回歸系數(shù)的正負(fù)和大小反映了自變量對因變量的影響方向和程度。
六、應(yīng)用場景
經(jīng)濟(jì)學(xué)：研究多種因素對經(jīng)濟(jì)增長的影響。
醫(yī)學(xué)：分析多個生活方式因素與健康指標(biāo)之間的關(guān)系。
市場營銷：分析多種因素對銷售額的影響，優(yōu)化營銷策略。
總之，多元線性回歸是一種強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析工具，能幫助我們深入理解多個自變量與因變量之間的復(fù)雜關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，需要注意選擇合適的自變量、處理多重共線性問題以及正確解釋模型結(jié)果。
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